1. 費馬點的證明與背景(證明要有圖)
費馬點的證明
如圖，在△ABC中，P為其中任意一點。連接AP，BP，得到△ABP。
合並圖冊
合並圖冊(2張)
以 點B為旋轉中心，將 △ABP逆時針旋轉 60°，得到△EBD
∵旋轉60°，且BD=BP，
∴△DBP 為一個等邊三角形
∴PB=PD
因此， PA+PB+PC=DE+PD+PC
由此可知當E、D、P、C 四點共線時， 為PA+PB+PC最小
若E、D、P共線時，
∵等邊△DBP
∴∠EDB=120°
同理，若D、P、C共線時，則 ∠CPB=120°
∴P點為滿足∠APB=∠BPC=∠APC=120° 的點。
歷史背景
皮耶·德·費馬（Pierre de Fermat）是一個17世紀的法國律師，也是一位業余數學家。之所以稱業余，是由於皮耶·德·費馬具有律師的全職工作。他的姓氏根據法文與英文實際發音也常譯為「費爾瑪」（注意「瑪」字）。費馬最後定理在中國習慣稱為費馬大定理，西方數學界原名「最後」的意思是：其它猜想都證實了，這是最後一個。
著名的數學史學家貝爾（E. T. Bell）在20世紀初所撰寫的著作中，稱皮耶·德·費馬為」業余數學家之王「。貝爾深信，費馬比皮耶·德·費馬同時代的大多數專業數學家更有成就，然而皮耶·德·費馬並未在其他方面另有成就，本人也漸漸退出人們的視野，考慮到17世紀是傑出數學家活躍的世紀，因而貝爾認為費馬是17世紀數學家中最多產的明星。
費馬點問題最早是由法國數學家皮埃爾·德·費馬在一封寫給義大利數學家埃萬傑利斯塔·托里拆利（氣壓計的發明者）的信中提出的。托里拆利最早解決了這個問題，而19世紀的數學家斯坦納重新發現了這個問題，並系統地進行了推廣，因此這個點也稱為托里拆利點或斯坦納點，相關的問題也被稱作費馬-托里拆利-斯坦納問題。這一問題的解決極大推動了聯合數學的發展，在近代數學史上具有里程碑式的意義。