A. 勾股定理的6種經典證明是什麼啊（要圖文並茂哦）
三角學里有一個很重要的定理，我國稱它為勾股定理，又叫商高定理。因為《周髀算經》提到，商高說過"勾三股四弦五"的話。下面介紹其中的幾種證明。 最初的證明是分割型的。設a、b為直角三角形的直角邊，c為斜邊。考慮下圖兩個邊長都是a+b的正方形A、B。將A分成六部分，將B分成五部分。由於八個小直角三角形是全等的，故從等量中減去等量，便可推出：斜邊上的正方形等於兩個直角邊上的正方形之和。這里B中的四邊形是邊長為c的正方形是因為，直輪兄角三角形三個內角和等於兩個直角。如上證明方法稱為相減全等證法。B圖就是我國《周髀算經》中的「弦圖」。 下圖是H．珀里加爾（Perigal）在1873年給出的證明，它是一種相加全等證法。其實這種證明是重新發現的，因為這種劃分方法，labitibn Qorra（826～901）已經知道。（如：右圖）下面的一種證法，是H�6�1E�6�1杜登尼（Dudeney）在1917年給出的。用的也是一種相加全等的證法。 如右圖所示，邊長為b的正方形的面積加上邊長為a的正方形的面積，等於邊長為c的正方形面積。 下圖的證明方法，據說是L�6�1達�6�1芬奇（da Vinci, 1452～1519）設計的，用的是相減全等的證明法。 歐幾里得（Euclid）在他的《原本》第一卷的命題47中，給出了勾股定理的一個極其巧妙的證明，如次頁上圖。由於圖形很美，有人稱其為「修士的頭巾」，也有人稱其為「新娘的轎椅」，實在是有趣。華羅庚教授曾建議將此圖發往宇宙，和「外星人」去交流。其證明的梗概是： (AC)2=2△JAB=2△CAD=ADKL。 同理，友敬(BC)2=KEBL 所以 (AC)2+(BC)2=ADKL+KEBL=(BC)2 印度數學家兼天文學家婆什迦羅（Bhaskara，活躍於1150年前後）對勾股定理給出一種奇妙的證明，也是一種分割型的證明。如下圖所示，把斜邊上的正方形劃分為五部分。其中四部分都是與給定的直角三角形全等的三角形；一部分為兩直角邊之差為邊長的小正方形。很容易把這五部分重新拼湊在一起，得到兩個直角邊上的正方形之和。事實上， 婆什迦羅還給出了下圖的一種證法。畫出直角三角形斜邊上的高，得兩對相似三角形，從而有 c/b=b/m， c/a=a/n, cm=b2 cn=a2 兩邊相加得 a2+b2=c(m+n)=c2 這個證明，在十七世紀又由英國數學家J．沃利斯(Wallis, 1616～1703)重新發現。 有幾位美國總統與數學有著微妙聯系。G�6�1華盛頓曾經是一個著名的測量員。T�6�1傑弗遜曾大力促進美國高等數學教育。A．林肯是通過研究歐幾里得的《原本》來學習邏輯的。更有創造性的是第十七任總統J．A．加菲爾德（Garfield, 1831～1888），他在學生時代對初等數學就具有強烈的興趣和高超的才能。在1876年，（當時他是眾議院議員，五年後當選為美國總統）給出了勾股定理一個漂亮的證明，曾發表於《新英格蘭教育雜志》。證明的思路是，利用梯形和直角三角形面積公式。如次頁圖所示，是由三個直角三角形拼成的直角梯形。用不同公式，求相同的面積得 即 a2+2ab+b2=2ab+c2 a2+b2=c2 這種證法，在中學生學習幾何時往往感興趣。 關於這個定理，有許多巧妙的證法（據說有近400種），下面向同學們介紹幾種，它們都是用拼圖臘告襲的方法來證明的。 證法1 如圖26-2，在直角三角形ABC的外側作正方形ABDE，ACFG，BCHK，它們的面積分別為c2，b2和a2。我們只要證明大正方形面積等於兩個小正方形面積之和即可。 過C引CM‖BD，交AB於L，連接BC，CE。因為 AB=AE，AC=AG ∠CAE=∠BAG， 所以△ACE≌△AGB SAEML=SACFG (1) 同法可證 SBLMD=SBKHC (2) (1)+(2)得 SABDE=SACFG+SBKHC， 即c2=a2+b2 證法2 如圖26-3（趙君卿圖），用八個直角三角形ABC拼成一個大的正方形CFGH，它的邊長是a+b，在它的內部有一個內接正方形ABED，它的邊長為c，由圖可知。 SCFGH=SABED+4×SABC， 所以a2+b2=c2 證法3 如圖26-4（梅文鼎圖）。 在直角△ABC的斜邊AB上向外作正方形ABDE，在直角邊AC上又作正方形ACGF。可以證明（從略），延長GF必過E；延長CG到K，使GK=BC=a，連結KD，作DH⊥CF於H，則DHCK是邊長為a的正方形。設 五邊形ACKDE的面積=S 一方面， S=正方形ABDE面積+2倍△ABC面積 =c2+ab (1) 另一方面， S=正方形ACGF面積+正方形DHGK面積 +2倍△ABC面積 =b2+a2+ab. (2) 由(1)，(2)得 c2=a2+b2 證法4 如圖26-5（項名達圖），在直角三角形ABC的斜邊上作正方形ABDE，又以直角三角形ABC的兩個直角邊CA，CB為基礎完成一個邊長為b的正方形BFGJ（圖26-5）。可以證明（從略），GF的延長線必過D。延長AG到K，使GK=a，又作EH⊥GF於H，則EKGH必為邊長等於a的正方形。 設五邊形EKJBD的面積為S。一方面 S=SABDE+2SABC=c2+ab (1) 另一方面， S=SBEFG+2�6�1S△ABC+SGHFK =b2+ab+a2 由(1)，(2) 得出論證 都是用面積來進行驗證：一個大的面積等於幾個小面積的和。利用同一個面積的不同表示法來得到等式，從而化簡得到勾股定理）圖見http://ett.edae.com/21010000/vcm/0720ggdl.doc 勾股定理是數學上證明方法最多的定理之一——有四百多種證法！但有記載的第一個證明——畢達哥拉斯的證明方法已經失傳。目前所能見到的最早的一種證法，屬於古希臘數學家歐幾里得。他的證法採用演繹推理的形式，記載在數學巨著《幾何原本》里。在中國古代的數學家中，最早對勾股定理進行證明的是三國時期吳國的數學家趙爽。趙爽創制了一幅「勾股圓方圖」，用數形結合的方法，給出了勾股定理的詳細證明。在這幅「勾股圓方圖」中，以弦為邊長得到正方形ABDE是由4個相等的直角三角形再加上中間的那個小正方形組成的。每個直角三角形的面積為ab/2；中間的小正方形邊長為b-a，則面積為（b-a） 2 。於是便可得如下的式子： 4×（ab/2）+（b-a） 2 =c 2 化簡後便可得： a 2 +b 2 =c 2 亦即：c=（a 2 +b 2 ） (1/2) 趙爽的這個證明可謂別具匠心，極富創新意識。他用幾何圖形的截、割、拼、補來證明代數式之間的恆等關系，既具嚴密性，又具直觀性，為中國古代以形證數、形數統一、代數和幾何緊密結合、互不可分的獨特風格樹立了一個典範。 以下網址為趙爽的「勾股圓方圖」：http://cimg.163.com/catchpic/0/01/.gif 以後的數學家大多繼承了這一風格並且有發展， 只是具體圖形的分合移補略有不同而已。 例如稍後一點的劉徽在證明勾股定理時也是用以形證數的方法，劉徽用了「出入相補法」即剪貼證明法，他把勾股為邊的正方形上的某些區域剪下來(出)，移到以弦為邊的正方形的空白區域內(入)，結果剛好填滿，完全用圖解法就解決了問題。 以下網址為劉徽的「青朱出入圖」：http://cimg.163.com/catchpic/A/A7/.gif
B. 初二勾股定理證明，要帶圖的。三種方法！
勾股定律證明的三種稿余答方法如下：
【方法1】
(2)勾股定理圖片簡單圖解擴展閱讀：
在我國數學上，早就有勾3股4弦5的說法，這是勾股定律的鍵慧一個特例，勾3a，股4a，弦5a都符合勾股定律。
在平面上的一個直角三角形中，兩個直角邊邊長的平方加起來等於斜邊長的平方。如果設直角三角形的兩條直角邊長度分別是a和b，斜邊長c，存在下面這個關系：a²+b²=c²
勾股定理現約有500種證明方法，是數學定理中證明方法最多的定理之一。勾股定理是人類早期發現並證明的重要數學定理之一，用代數思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數形結合的紐帶之一。
在中國，商朝時期的商高提出了「勾三股四弦五」的勾股定理的特例。在西方，最早提出並證明此定理的為公元前6世紀古希臘的畢達哥拉斯學派，他用演繹法證明了毀族直角三角形斜邊平方等於兩直角邊平方之和。
C. 勾股定理的解法（帶圖）
證法1
作四個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b ，斜邊長為c. 把它們拼成如圖那樣的一個多邊形，使D、E、F在一條直線上. 過點C作AC的延長線交DF於點P.
∵ D、E、F在一條直線上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,
∴ ∠EGF = ∠BED，
∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，
∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，
∴ ∠BEG =180°―90°= 90°
又∵ AB = BE = EG = GA = c，
∴ ABEG是一個邊長為c的正方形.
∴ ∠ABC + ∠CBE = 90°
∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,
∴ ∠ABC = ∠EBD.
∴ ∠EBD + ∠CBE = 90°
即 ∠CBD= 90°
又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°，
BC = BD = a.
∴ BDPC是一個邊長為a的正方形.
同理，HPFG是一個邊長為b的正方形.
設多邊形GHCBE的面積為S，則
a^2+b^2=c^2
證法2
作兩個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b（b>a） ，斜邊長為c. 再做一個邊長為c的正方形. 把它們拼成如圖所示的多邊形，使E、A、C三點在一條直線上.
過點Q作QP‖BC，交AC於點P.
過點櫻知凳B作BM⊥PQ，垂足為M；再過點
F作FN⊥PQ，垂足為N.
∵ ∠BCA = 90°，QP‖BC，
∴ ∠MPC = 90°，
∵ BM⊥猛殲PQ，
∴ ∠BMP = 90°，
∴ BCPM是一個矩形，即∠MBC = 90°.
∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°，
∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°，
∴ ∠QBM = ∠ABC，
又∵ ∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c，
∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.
同理可證RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即a^2+b^2=c^2
證法3
作兩個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b（b>a） ，斜邊長為c. 再作一個邊長為c的正方形. 把它們拼成如圖所示的多邊形.
分別以CF，AE為邊長做正方形FCJI和AEIG，
∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，
∴FI=a，
∴G,I,J在同一直線上，
∵CJ=CF=a，CB=CD=c，
∠CJB = ∠CFD = 90°，
∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ，
同理，RtΔABG ≌ RtΔADE，
∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE
∴∠ABG = ∠BCJ,
∵∠BCJ +∠CBJ= 90°,
∴∠ABG +∠CBJ= 90°,
∵∠ABC= 90°,
∴G,B,I,J在同一直線上，
a^2+b^2=c^2
證法4
作三個邊長分別為a、b、c的三角形，把它們拼成如圖所示形狀，使H、C、B三點在一條直線上，連結
BF、CD. 過C作CL⊥DE，
交AB於點M，交DE於點L.
∵ AF = AC，AB = AD，
∠FAB = ∠GAD，
∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，
∵ ΔFAB的面積等於，
ΔGAD的面積等於矩形ADLM
的面積的一半，
∴ 矩形ADLM的面積 =.
同理可證，矩形MLEB的面積 =.
∵ 正方形ADEB的面積
= 矩形ADLM的面積 + 矩形MLEB的面積
∴ 即a^2+b^2=c^2
證法5(歐幾里得的證法)
《幾何原本》中的證明
在歐幾里得的《幾何原本》一書中提出勾股定理由以下證明後可成立。 設△ABC為一直角三角形，其中A為直角。從A點劃脊旅一直線至對邊，使其垂直於對邊上的正方形。此線把對邊上的正方形一分為二，其面積分別與其餘兩個正方形相等。
在正式的證明中，我們需要四個輔助定理如下：
如果兩個三角形有兩組對應邊和這兩組邊所夾的角相等，則兩三角形全等。（SAS定理） 三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。 任意一個正方形的面積等於其二邊長的乘積。 任意一個四方形的面積等於其二邊長的乘積（據輔助定理3）。 證明的概念為：把上方的兩個正方形轉換成兩個同等面積的平行四邊形，再旋轉並轉換成下方的兩個同等面積的長方形。
其證明如下：
設△ABC為一直角三角形，其直角為CAB。 其邊為BC、AB、和CA，依序繪成四方形CBDE、BAGF和ACIH。 畫出過點A之BD、CE的平行線。此線將分別與BC和DE直角相交於K、L。 分別連接CF、AD，形成兩個三角形BCF、BDA。 ∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A 和 G 都是線性對應的，同理可證B、A和H。 ∠CBD和∠FBA皆為直角，所以∠ABD等於∠FBC。 因為 AB 和 BD 分別等於 FB 和 BC，所以△ABD 必須相等於△FBC。 因為 A 與 K 和 L是線性對應的，所以四方形 BDLK 必須二倍面積於△ABD。 因為C、A和G有共同線性，所以正方形BAGF必須二倍面積於△FBC。 因此四邊形 BDLK 必須有相同的面積 BAGF = AB^2。 同理可證，四邊形 CKLE 必須有相同的面積 ACIH = AC^2。 把這兩個結果相加， AB^2+ AC^2; = BD×BK + KL×KC 。由於BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由於CBDE是個正方形，因此AB^2 + AC^2= BC^2。 此證明是於歐幾里得《幾何原本》一書第1.47節所提出的
證法6（歐幾里德(Euclid)射影定理證法）
如圖1，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜邊AC上的高，通過證明三角形相似則有射影定理如下：
1）（BD）^2;=AD•DC， （2）（AB）^2;=AD•AC ， （3）（BC）^2;=CD•AC 。
由公式（2）+（3）得：
（AB）^2;+（BC）^2;=AD•AC+CD•AC =（AD+CD)•AC=（AC）^2;，
圖1
即 （AB）^2;+（BC）^2;=（AC）^2，這就是勾股定理的結論。
證法七（趙爽弦圖）
在這幅「勾股圓方圖」中，以弦為邊長得到正方形ABDE是由4個相等的直角三角形再加上中間的那個小正方形組成的。每個直角三角形的面積為ab/2；中間懂得小正方形邊長為b-a，則面積為（b-a）2。於是便可得如下的式子：
4×（ab/2）+（b-a）2=c2
化簡後便可得：
a2+b2=c2
亦即：
c=（a2+b2）(1/2)
勾股定理的別名 勾股定理，是幾何學中一顆光彩奪目的明珠，被稱為「幾何學的基石」，而且在高等數學和其他學科中也有著極為廣泛的應用。正因為這樣，世界上幾個文明古國都已發現並且進行了廣泛深入的研究，因此有許多名稱。
我國是發現和研究勾股定理最古老的國家之一。我國古代數學家稱直角三角形為勾股形，較短的直角邊稱為勾，另一直角邊稱為股，斜邊稱為弦，所以勾股定理也稱為勾股弦定理。在公元前1000多年，據記載，商高（約公元前1120年）答周公曰「故折矩，以為句廣三，股修四，徑隅五。既方之，外半其一矩，環而共盤，得成三四五。兩矩共長二十有五，是謂積矩。」因此，勾股定理在我國又稱「商高定理」。在公元前7至6世紀一中國學者陳子，曾經給出過任意直角三角形的三邊關系即「以日下為勾，日高為股，勾、股各乘並開方除之得邪至日。
在法國和比利時，勾股定理又叫「驢橋定理」。還有的國家稱勾股定理為「平方定理」。
在陳子後一二百年，希臘的著名數學家畢達哥拉斯發現了這個定理，因此世界上許多國家都稱勾股定理為「畢達哥拉斯」定理。為了慶祝這一定理的發現，畢達哥拉斯學派殺了一百頭牛酬謝供奉神靈，因此這個定理又有人叫做「百牛定理」．
前任美國第二十屆總統伽菲爾德證明了勾股定理（1876年4月1日）。
1 周髀算經, 文物出版社,1980年3月, 據宋代嘉定六年本影印,1-5頁。
2. 陳良佐: 周髀算經勾股定理的證明與出入相補原理的關系. 刊於《漢學研究》, 1989年第7卷第1期, 255-281頁。
3. 李國偉: 論「周髀算經」「商高曰數之法出於圓方」章. 刊於《第二屆科學史研討會匯刊》, 台灣, 1991年7月， 227-234頁。
4. 李繼閔: 商高定理辨證. 刊於《自然科學史研究》,1993年第12卷第1期,29-41頁 。
5. 曲安京: 商高、趙爽與劉徽關於勾股定理的證明. 刊於《數學傳播》20卷, 台灣, 1996年9月第3期, 20-27頁
證法8（達芬奇的證法）
達芬奇的證法
三張紙片其實是同一張紙，把它撕開重新拼湊之後，中間那個「洞」的面積前後仍然是一樣的，但是面積的表達式卻不再相同，讓這兩個形式不同的表達式相等，就能得出一個新的關系式——勾股定理，所有勾股定理的證明方法都有這么個共同點。觀察紙片一，因為要證的事勾股定理，那麼容易知道EB⊥CF，又因為紙片的兩邊是對稱的，所以能夠知道四邊形ABOF和CDEO都是正方形。然後需要知道的是角A'和角D'都是直角，原因嘛，可以看紙片一，連結AD，因為對稱的緣故，所以∠BAD=∠FAD=∠CDA=∠EDA=45°，那麼很明顯，圖三中角A'和角D'都是直角。證明：第一張紙片多邊形ABCDEF的面積S1=S正方形ABOF+S正方形CDEO+2S△BCO=OF^2+OE^2+OF•OE 第三張紙片中多邊形A'B'C'D'E'F'的面積S2=S正方形B'C'E'F'+2△C'D'E'=E'F'^2+C'D'•D'E'因為S1=S2 所以OF^2+OE^2+OF•OE=E'F'^2+C'D'•D'E'又因為C'D'=CD=OE,D'E'=AF=OF所以OF•OE=C'D'•D'E' 則OF^2+OE^2=E'F'^2因為E'F'=EF所以OF^2+OE^2=EF^2勾股定理得證
D. 廣義勾股定理是什麼(最好有圖)
如碼搏圖：
廣義勾股定理簡介指a,b為其中的向量，a的范數平方加上b的范數平方等於虧模培a-b的范數平方。
勾股定理應用：
這是普通勾股定理即2維歐幾里得銷唯空間且向量a的范數定義為
||a||=(x2+y2)1/2（或者||a||=（ata）1/2(列向量a的轉置與a的矩陣乘積的1/2次方）的推廣。
E. 勾股定理公式計算圖解
在平面上的一個直角三角形中，兩個直角邊邊長的平方加起來等於斜邊長的平方。如果設直角三角形的兩條直角邊長度分別是a和b，斜邊長度是c，那麼可以用數學語言表達：
(5)勾股定理圖片簡單圖解擴展閱讀：
勾股定理是一個基本的幾何定理，指直角三角形的兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方。中國古代稱直角三角形為勾股形，並且直角邊中較小者為勾，另一長直角邊為股，斜邊為弦，所以稱這個定理為勾股逗明定理，也有人稱商高定理。
定理用途：
已知直角三角形兩邊求解第三邊，或者已知三角形的三邊長晌卜度，證明該三角形為直角三角形或用來證明該三角形內兩邊垂直。利用勾股定理求線段長度這是勾股定理的最基本運用。
F. 勾股定理的證明方法 帶圖！！！
勾如隱消股定理渣知的證攜擾明方法如下，共5種方法：
G. 勾股定理思維導圖
「勾股定理」的思維導圖：
H. 什麼是勾股定理怎麼算，請舉個例子說明
勾股定理：在平面上的一個直角三角形中，兩個直角邊邊長的平方加起來等於斜邊長的平方。
（如下圖所示，悉辯即a² + b² = c²）
例子：
以上圖的直角三角形為例，a的邊長為3，b的邊長為4，則我們可晌肆以利用勾股定理計算出c的邊長。
由勾股定理得，a + b = c → 3 +4 = c
即，9 + 16 = 25 = c²
c =√25 = 5
所以我們可以利用勾股定理計算出c的邊長為5。
勾股定理的逆定理：
勾股定理的逆定理是判斷三角形為鈍角、銳角或直角的一個簡單的方法，其中AB=c為最長邊:
如果a² + b² = c²，則△ABC是直角三角形。
如果a² + b² > c²，則△ABC是銳角三角睜謹缺形（若無先前條件AB=c為最長邊，則該式的成立僅滿足∠C是銳角）。
如果a² + b² < c²，則△ABC是鈍角三角形。
I. 求能夠證明勾股定理的圖
勾股定理的證明: 在這數百種證明方法中,有的十分精彩,有的十分簡潔,有的因為證明者身份的特殊而非常著名。 首先介紹勾股定理的兩個最為精彩的證明,據說分別來源於中國和希臘。 1.中國方法:畫兩個邊長為(a b)的正方形,如圖,其中a、b為直角邊,c為斜邊。這兩個正方形全等,故面積相等。 左圖與右圖各有四個與原直角三角形全等的三角形,左右四個三角形面積之和必相等。從左右兩圖中都把四個三角形去掉,圖形剩下部分的面積必相等。左圖剩下兩個正方形,分別以a、b為邊。右圖剩下以c為邊的正方形。於是 a^2 b^2=c^2。 這就是我們幾何教科書中所介紹的方法。既直觀又簡單,任何人都看得懂。 2.希臘方法:直接在直角三角形三邊上畫正方形。 容易看出, △ABA』 ≌△AA'C 。 過C向A』』B』』引垂線,交AB於C』,交A』』B』』於C』』。 △ABA』與正方形ACDA』同底等高,前者面積為後者面積的一半,△AA』』C與矩形AA』』C』』C』同底等高,前者的面積也是後者的一半。由△ABA』≌△AA』』C,知正方形ACDA』的面積等於矩形AA』』C』』C』的面積。同理可得正方形BB』EC的面積等於矩形B』』BC』C』』的面積。 於是, S正方形AA』』B』』B=S正方形ACDA』 S正方形BB』EC, 即 a2 b2=c2。 至於三角形面積是同底等高的矩形面積之半枝衫,則可用割補法得到(請讀者自己證明)。這里只用到簡單的面積關系,不涉及三角形和矩形的面積公式。 這就是希臘古代數學家歐幾里得在其《幾何原本》中的證法。 以上兩個證明方法之所以精彩,是它們所用到的定理少,都只用到面積的兩個基本觀念: ⑴ 全等形的面積相等; ⑵ 一個圖形分割成幾部分,各部分面積之和等於原圖形的面積。 這是完全可以接受的樸素觀念,任何人都能理解。 我國歷代數學家關於勾股定理的論證方法有多種,為勾股定理作的圖注也不少,其中較早的是趙爽(即趙君卿)在他附於《周髀算經》之中的論文《勾股圓方圖注》中的證明。採用的是割補法: 如圖,將圖中的四個直角三角形塗上硃色,把中間小正方形塗上黃色團悉,叫做中黃實,以弦為邊的正方形稱為弦實,然後經過拼補搭配,「令出入相補,各從其類」,他肯定了勾股弦三者的關系是符合勾股定理的。即「勾股各自乘,並之為弦實,開方除之,即弦也」。 趙爽對勾股定理的證明,顯示了我國數學家高超的證題思想,較為簡明、直觀。 西方也有很多學者研究了勾股定理,給出了很多證明方法,其中有文字記載的最早的證明是畢達哥拉斯給出的。據說當他證明了勾股定理以後,欣喜若狂,殺牛百頭,以示慶賀。故西方亦稱勾股定理為「百牛定理」。遺憾的是,畢達哥拉斯的證明方法早已失傳,我們無從知道他的證法。 下面介紹的是美國第二十任總統伽菲爾德對勾股定理的證明。 S梯形ABCD= (a b)2 = (a2 2ab b2), ① 又S梯形ABCD=S△AED S△EBC S△CED = ab ba c2 = (2ab c2)。 ② 比較以上二式,便得 a2 b2=c2。 這一證明由於用了梯形面積公式和三角形面積公式,從而使證明相當簡潔。 1876年4月1日,伽菲爾德在《新英格蘭教育日誌》上發表了他對勾猛或腔股定理的這一證明。5年後,伽菲爾德就任美國第二十任總統。後來,人們為了紀念他對勾股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明,就把這一證法稱為勾股定理的「總統」證法,這在數學史上被傳為佳話。 在學習了相似三角形以後,我們知道在直角三角形中,斜邊上的高把這個直角三角形所分成的兩個直角三角形與原三角形相似。 Rt△ABC中,∠ACB=90°。作CD⊥BC,垂足為D。則 △BCD∽△BAC,△CAD∽△BAC。 由△BCD∽△BAC可得BC2=BD ? BA, ① 由△CAD∽△BAC可得AC2=AD ? AB。 ② 我們發現,把①、②兩式相加可得 BC2 AC2=AB(AD BD), 而AD BD=AB, 因此有 BC2 AC2=AB2,這就是 a2 b2=c2。 這也是一種證明勾股定理的方法,而且也很簡潔。它利用了相似三角形的知識。 在對勾股定理為數眾多的證明中,人們也會犯一些錯誤。如有人給出了如下證明勾股定理的方法: 設△ABC中,∠C=90°,由餘弦定理 c2=a2 b2-2abcosC, 因為∠C=90°,所以cosC=0。所以 a2 b2=c2。 這一證法,看來正確,而且簡單,實際上卻犯了循環證論的錯誤。原因是餘弦定理的證明來自勾股定理。 人們對勾股定理感興趣的原因還在於它可以作推廣。 歐幾里得在他的《幾何原本》中給出了勾股定理的推廣定理:「直角三角形斜邊上的一個直邊形,其面積為兩直角邊上兩個與之相似的直邊形面積之和」。 從上面這一定理可以推出下面的定理:「以直角三角形的三邊為直徑作圓,則以斜邊為直徑所作圓的面積等於以兩直角邊為直徑所作兩圓的面積和」。 勾股定理還可以推廣到空間:以直角三角形的三邊為對應棱作相似多面體,則斜邊上的多面體的表面積等於直角邊上兩個多面體表面積之和。 若以直角三角形的三邊為直徑分別作球,則斜邊上的球的表面積等於兩直角邊上所作二球表面積之和。 如此等等。 另:八年級數學勾股定理的證明(介紹16種證明的方法)(數學教案) http://www.ydgz.com/Soft/ShowSoft.asp?SoftID=40105 參考資料: http://ke..com/view/366.htm
J. 勾股定理圖解，要最簡
「勾三股四弦五」是勾股定理最基本的公式。勾股數組程a² + b² = c²茄氏念顫困的正整數組(a,b,c)。(3,4,5)就是勾股數。也就是說，設直角三角形兩直角邊為a和b，斜邊為c，那a²+b²=c² 。
做8個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，再做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個正方形.
從圖上可以看到，這兩個正方形的邊長都是a + b，核蔽所以面積相等. 即
a²+b²+4×1/2ab=c²+4×1/2ab， 整理得a²+b²=c²